为什么向量线性相关行列式等于0
线性相关行列式的值一定为零吗？
线性相关行列式的值一定为零吗？
线性关系是当行或列可以线性表示，你可以执行基本的转换，取一行或列，你把另一个行或列，最后一行，都是零，和行列式等于零。所以行列式等于0是线性相关的。相反，它是线性无关的它的行列式不等于0，这意味着它是满秩的，没有一行或列都是0。没有特定的定理。
为什么n个n维列向量线性相关就能推出行列式等于0？
（为了书写方便，以下证明 行向量的 情况，列向量完全类似。）
设 α? (a??, a??, ..., a?_n), α? (a??, a??, ..., a?_n), ..., α_n (a_n?, a_n?, ..., a_{nn}) 是 n 个 n维向量，如果那个吗线性相关，则意味着存在 α_m (1 ≤ m ≤ n) 可以被其他向量线性表示为：
α_m k?α? k?α? ... k_{m-1}α_{m-1} k_{m 1}α_{m 1} ... k_nα_n
于是对于以 α? , α? , ..., α_n 为 行向量 组成 的 n 阶方阵：
逐次 对 A 做：”将 A 的 从 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -k? 加到 第 m 行上“ 的 行初等变换，这会得到：
显然，|A| 0。
而 行初等变换：将 A 的 从 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -k? 加到 第 m 行上，相当于 对 A 右乘 初等变换矩阵：
为什么呢？这，可以通过直接进行矩阵乘法运算验证，大家自己试一试就知道了！于是，有：
又根据 行列式 重要性质：|AB| |A|·|B| 以及 |P?| 1 的事实，很方便得到：
这其实就是 初等变换不改变行列式值 的性质。于是最终得到：
|A| |A| 0
说明：以上推导均可逆，因此 n阶方阵 的 n个n维行（列）向量线性相关 当前仅当 n阶方阵 的行列式值为 0。
在一个n×n矩阵中，如果n个n维列向量线性相关，则其中任何一个列向量均可由其他n-1个列向量线性表出，那么这个列向量就一定可以经过若干次这种相应的初等变换变成一个零向量，而这种初等变换不改变行列式的值，所以这个矩阵的行列式的值等于零。