常见的三种向量范数
单位向量怎么设？
单位向量怎么设？
就是长度为1的向量。因此在定义单位向量之前，必须先定义“长度”，也就是向量的“范数”。通常情况下，我们都采用“2-范数”作为欧氏空间的长度定义，即向量各个坐标的平方和的算术平方根。
这样一来，任何一个非零向量，除以它自身的长度以后，都会得到一个单位向量。
关于二范数的不等式？
使用向量2-范数和无穷范数的如下不等式(证明都很容易):①║X║_∞≤║X║_2,②║X║_2≤√n·║X║_∞.于是对任意向量X,有:║AX║_∞≤║AX║_2(由①)≤║A║_2·║X║_2(由2-范数的定义)≤√n·║A║_2·║X║_∞(由②).再由无穷范数的定义即得║A║_∞≤√n·║A║_2.
相对误差与范数的区别？
误差基本概念
这里涉及两种基本的误差。
绝对误差：x-a，其中a是x的一个近似值。
相对误差： 绝对误差可能会引起误会，不能正确反映误差变化。比如x1 3.0000,a1 3.100，x23000，a23100，计算看来x1-a1-0.1，x2-a2-100，两个绝对误差是不同的，但是计算一下相对误差会发现是同一数量级的。因此采用相对误差衡量误差的大小变化更为精确。
问题： 但是有一个问题是，现实中，我们并不清楚真实值x的大小怎么办呢？
解决方案 使用a作为x的近似值，来计算相对误差，即。
3. 绝对误差界 定义为绝对误差界
4. 相对误差界 定义为相对误差界。
因为，绝对误差解是一个大于等于|x-a|的数值，因此绝对误差界和相对误差界并不唯一。
3.有效数字
首先，明确有效位数的概念。以为例子，假设a13.14，a23.1416这种选取近似值的特点是，误差界不超过它们末位数字的半个单位。
范数
定义：我们希望把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数能提供向量和矩阵的大小度量。由于多方面的用途，这样做是方便的。我们希望这样一个数量类似于一个复数的模。 可以把范数看成一个函数映射过程，，其中y是映射后的范数，f是对应的各种范数变换。 范数的概念是复数模的概念的自然推广。
1.向量范数及其等价性
（1）向量范数
什么是范数 范数满足三个性质
非负性：，并且||x||0的充要条件为x0
齐次性：
三角不等式： 满足以上三个条件，称||·||为范数。
P-范数
P范数的定义如下
通过推导，我们会得到三种经典的范数如下：（推导过程不需要掌握，记住经典的三种向量范数的求解公式即可）
典型的向量范数有三种
证明二范数满足性质三，三角不等式
加权范数
定义为：
2. 矩阵范数及相容矩阵范数的性质
（1）矩阵范数
矩阵可以通过变化拉伸成一维的向量，进而可以将向量范数的概念推广到矩阵范数。记住，这里的推广是基于将矩阵转换成一维向量实现的。
矩阵因为涉及到矩阵的乘法，因此矩阵范数的定义相较于向量范数有一些条件上的增强。
非负性：对任意矩阵A均有||A||≥0，并且||A||0的充分必要条件为A0
齐次性：
三角不等式：
相容性：
因此有由向量范数推广得到的三种矩阵范数。
实际运算中，不止会出现矩阵相乘，矩阵与向量相乘更是常常出现，那么如何衡量矩阵和向量之间的关系呢？因此就提出了矩阵范数与向量范数的相容性问题。
定义：对于一种矩阵范数和一种向量范数，如果对任意m x n矩阵A和任意n维向量x，满足
则称矩阵范数与向量范数是相容的。
事实上可以证明，任意一种矩阵范数必然存在与之相容的向量范数。
矩阵范数与向量范数相容的性质反映这样一个事实：矩阵A的范数||A||是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的一个上界，即。因此可以用||A||来评估变换A的结果，但是这种估计非常粗糙。现在的问题是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的上界中的最小上界或上确界是否仍是A的范数。从而引出算子范数的概念。
（2）算子范数
首先，有算子范数的定义。
我们可以证明出确实是一个范数（通过证明满足矩阵范数的四个条件）。
我们称1-25定义的矩阵范数是从属于向量范数||·||v的矩阵范数，简称从属范数或算子范数。
进而我们通过推导，可以得到常用的从属于向量1-范数，2-范数，∞-范数的矩阵范数，我们称之为列范数，谱范数和行范数。