一致收敛怎么证明收敛
叶戈罗夫定理的证明?
叶戈罗夫定理的证明?
在测度论中,叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致连续的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名,他在1911年出版了该定理。 叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起,可以用来证明可积函数的卢津定理。
设( M, d)为一个可分度量空间(例如实数,度量为通常的距离 d( a, b) | a? b|)。给定某个测度空间( X,Σ,μ)上的 M-值可测函数的序列( f),以及一个有限μ-测度的可测子集 A,使得( f)在 A上μ-几乎处处收敛于极限函数 f,那么以下结果成立:对于每一个εgt0,都存在 A的一个可测子集 B,使得μ( B)ltε,且( f)在相对补集 A B上一致收敛于 f。
在这里,μ( B)表示 B的μ-测度。该定理说明,在 A上几乎处处逐点收敛,意味着除了在任意小测度的某个子集 B上外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。
函数项级数一致收敛一定就收敛?
一致收敛是比收敛更强的一种收敛,函数项级数一致收敛当然是一定收敛。
不一致收敛定义?
点点敛个点都收敛到极限函数,但收敛快慢没有限制,比如在(0,1)区间Fn(x)x^n会收敛到F(x)0,但收敛速度有快有慢,x越接近于1,收敛速度越慢。
(甚至可以任意慢,对任意ε>0,任意N>0,存在n>N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]>ε;abs(f)表示f的绝对值) 一致收敛,不仅仅每一个点都收敛到极限函数,而且收敛速度要好于一个共同的标准(一致性)。,比如在(0,0.5)区间Fn(x)x^n会收敛到F(x)0,虽然收敛速度有快有慢,但是都比0.5^n要快。
(对任意ε>0,存在N>0,任意n>N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]<ε;abs(f)表示f的绝对值)
为什么函数级数一致收敛就连续?
对的,一致收敛的连续函数列会收敛到一个连续函数。
证明也很简单。
比如说, fn->f是一致收敛连续函数列,那即是说,对任意一个e>0, 存在一致的N, 使得当n>N时, |fn(x)-f(x)|<e 对任意的x都对。
我们要证明f也是连续的,比如 f(x)在 x0处连续,我们要估计f(x)-f(x0)=[f(x)-fN(x)]+[fN(x)-fN(x0)]+[fN(x0)-f(x0)]=I+II+III。
其中I和III都是充分小的,这是由一致收敛的条件得到的;当x->x0时,第II项也是充分小的,这是由于fN(x)在x0处是连续的得到的。所以我们有f(x)-f(x0)充分小当x->x0的时候。由证明我们也知道,一致收敛和连续这两个条件都是必要的,缺一不可。