怎样判断一个空间是线性空间
距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系？
距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系？
4.1 联系
如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。
以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。
4.2 区别
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。
线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是：范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足
‖x y‖2 ‖x-y‖22‖x‖2 2‖y‖2t(3-3)
上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。
线性子空间的判定方法？
在 线性代数和其他数学相关领域， 一个线性子空间(或向量子空间) U是给定域向量空间 V的一个 子集，并且它还是V的加法子群，同时，在纯量乘下回到自身，那么，V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构，我们把U称为V上的向量（或线性）子空间。
设 V 是在域 K 上的向量空间，并设 W 是 V 的子集。则 W 是个子空间，当且仅当它满足下列三个条件:
零向量 0 在 W 中。
如果u和v是 W 的元素，则向量和u v是 W 的元素。
如果u是 W 的元素而 c 是来自 K 的标量，则标量积 cu是 W 的元素