特征向量能为零吗 特征根和特征值的区别？

特征向量能为零吗

特征根和特征值的区别？

特征根和特征值的区别？

特征根
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。
特征值
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Axmx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

齐次线性方程组有非零解，为什么0就是特征量？

特征值为0说明这个矩阵的行列式就为0。因为一个矩阵的行列式等于这个矩阵所有特征值的积。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Axmx成立，则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。式Axλx也可写成(A-λE)X0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|0。

为何特征值改变，特征向量不变？

这和特征值，特征向量的定义有关。
下面作一简要介绍。
若n阶矩阵A，满足Aαλα，α≠0，则称λ为A的特征值，α是属于λ的特征向量。
已知A的特征值λ，特征向量α。即Aαλα
等式两端左乘A*，考虑到A*A|A|E
则A*α|A|/λ α，根据定义，A*的特征值为|A|/λ，对应的特征向量为α
B(E A*)2
等式两端左乘A*
那么Bα(E A*)2α(E 2A* A*2)α α 2A*α A*2α，考虑到A*α|A|/λ α
得Bα(1 2|A|/λ |A|2/λ2)α，根据定义，B的特征值为(1 2|A|/λ |A|2/λ2)
对应的特征向量为α。
实际上，对于矩阵多项式f(A)，有f(λ)满足。
根据上述推导过程，P-1AP的特征值是多少，特征向量又是多少呢

不同的特征值所对应的特征向量可能相同吗？

1、矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关
证明如下：
假设矩阵A有两个不同特征值k,h，相应特征向量是x,y
其中x,y线性相关，不妨设ymx，因此，得到
Axkx【1】
Ayhyhmx
即Amxhmx【2】
而根据【1】有
Amxkmx【3】
【2】-【3】，得到
0(h-k)mx
由于特征向量x非零向量，而h,k两个特征值不相同，即h-k不为0
则m0，则ymx0，这与特征向量非零向量，矛盾！
因此假设不成立，从而结论得证
2、相同特征值对应的特征向量不一定线性无关
因为，某个特征值的一个特征向量的非零倍数，也是该特征值的特征向量
但两个特征向量，因为是倍数关系，因此是线性相关的。
又例如，如果一个特征值，相应特征方程解出来，基础解系中有多个解向量，这些解向量是线性无关的，且都是此特征值的特征向量。